Вращение окружает нас повсюду — от планет до электронов. Человечество училось описывать его с помощью математики сотни лет. Казалось, что к 21 веку в этой области не осталось места для фундаментальных открытий. Основные принципы, сформулированные еще Леонардом Эйлером и другими титанами науки, прочно вошли в учебники.

Ключевым инструментом для описания вращений уже давно служит особая математическая конструкция «группа вращений» — набор всех вращений вокруг начала координат в трехмерном евклидовом пространстве, которую математики обозначают как SO(3). 

Для наглядности эту абстрактную модель часто изображают в виде шара: направление от центра указывает ось вращения, а расстояние от центра — величину угла поворота. Радиус такого шара соответствует углу π (180 градусов). 

Центр этого воображаемого шара соответствует исходному, нулевому положению объекта — точке покоя. Каждое вращение смещает объект из центра в другую точку внутри шара, а сложная последовательность поворотов оставляет за собой извилистый след, похожий на тоннель червяка в яблоке.

И вот здесь возникла классическая проблема. Чтобы «обнулить» вращение, то есть вернуть объект в исходное положение, нужно было найти обратный путь в начальную точку — в центр шара. Просчитать такой обратный маршрут для сложной траектории — все равно что пытаться с первой попытки попасть иголкой в сердцевину яблока. Это возможно, но невероятно трудно. До сих пор наука не знала универсального и простого рецепта для такого возврата.

Алан Тьюринг: гениальный математик и дешифровщик, осужденный за нетрадиционную ориентацию

В июне 1954 года в одной из комнат небольшого дома в английском городе Уилмслоу экономка нашла труп 41-летнего мужчины. Рядом с телом лежало надкушенное яблоко, которое, по версии полицейских, было...

Швейцарский математик Жан-Пьер Экманн (Jean-Pierre Eckmann) из Женевского университета и его коллега Цви Тлусти (Tsvi Tlusty) из Ульсанского национального института науки и технологий в Южной Корее совершили открытие, которое меняет привычный взгляд на проблему. Они доказали, что для отмены любого, даже самого запутанного вращения, существует универсальный алгоритм. Его можно назвать «кнопкой сброса».

Вот как это работает. Вместо того чтобы выстраивать сложную обратную последовательность движений, нужно всего три шага. Сначала вы берете свое исходное вращение и масштабируете его. Это значит, что все углы поворота уменьшаются на определенное число раз. Затем вы дважды повторяете это уже уменьшенное, масштабированное вращение. И объект возвращается в свое начальное положение.

Тлусти привел простой пример. Допустим, вы повернули волчок на три четверти полного оборота. Чтобы вернуть его в исходную точку, вам не нужно повторять вращение в обратную сторону на те же три четверти. Вместо этого можно масштабировать исходное вращение — например, уменьшить угол до одной восьмой оборота. Если выполнить такое уменьшенное вращение два раза подряд, волчок окажется точно там, где стартовал. Суммарный эффект составит одну четверть оборота, что полностью компенсирует исходный поворот на три четверти (в противоположном направлении).

Но вся суть открытия раскрывается не на простых примерах, а в сложных системах. 

«Это свойство почти любого объекта, который вращается. Спин или кубит, гироскоп или рука робота. Если они прошли по сильно запутанному пути в пространстве, вам достаточно масштабировать все углы вращения на один и тот же коэффициент и повторить эту сложную траекторию дважды. Они просто возвращаются в исходную точку», — пояснил Тлусти.

Секрет этого феномена кроется в структуре того самого абстрактного шара SO(3). Ученые заметили, что полная отмена вращения означает возврат в единственную точку — центр шара. Но они нашли обходной путь. Оказалось, что если уменьшить вращение ровно наполовину, то система оказывается не в центре, а на поверхности шара. А попасть на поверхность гораздо проще: вместо одной единственной точки там бесконечное множество возможных положений. Именно эта особенность структуры SO(3) стала ключом к их открытию.

Исследователи потратили много времени на поиски верного решения, и многие математические подходы заходили в тупик. Помощь пришла из прошлого. В своем доказательстве Экманн и Тлусти опирались на формулу поворота Родрига, связывающую два вектора с общим началом, и теорему из теории чисел, сформулированную еще в 1889 году.

Гипатия Александрийская: женщина-ученый, обвиненная в чародействе и зверски убитая христианами

“Самое страшное - это преподносить суеверие как истину”, - слова, которые приписывают Гипатии Александрийской. Представьте себе город, в котором сосредоточены все великие научные достижения античности, лучшие произведения искусства того времени,...

Объединив эти старые инструменты, ученые пришли к новому выводу, что такой масштабирующий коэффициент, необходимый для работы «кнопки сброса»,  существует для практически всех возможных вращений — за редкими исключениями, связанными со строго симметричными положениями.

Открытие Экманна и Тлусти — не просто красивая математическая абстракция. Оно имеет огромный практический потенциал. В робототехнике это может упростить программирование манипуляторов, позволяя легко возвращать их в исходную позицию после выполнения сложных операций. В квантовых вычислениях это открывает новые пути для управления кубитами и коррекции ошибок. В навигационных системах, основанных на гироскопах, метод может повысить точность.

Научная работа опубликована в журнале Physical Review Letters.